Potrebbe derivare dall'apocope dell'aferesi del nomen latino Liberale di cui si ha un esempio nel VITA DIVI VESPASIANI di Svetonio: "...reciperatorio iudicio pronuntiatam, patre asserente Flavio Liberale Ferenti genito nec quicquam amplius quam quaestorio scriba....".
Il cognome Bai ha un nucleo nel milanese e varesotto, uno nel bolognese, uno nel grossetano.
Il cognome Bai è 2012° nella regione Lombardia Il cognome Bai è 309° nella provincia di Varese Il cognome Bai è 8° nel comune di Castiglione della Pescaia (GR)