Potrebbe derivare dall'apocope dell'aferesi del nomen latino Liberale di cui si ha un esempio nel VITA DIVI VESPASIANI di Svetonio: "...reciperatorio iudicio pronuntiatam, patre asserente Flavio Liberale Ferenti genito nec quicquam amplius quam quaestorio scriba....".
Il cognome Bai ha un nucleo nel milanese e varesotto, uno nel bolognese, uno nel grossetano.
Il cognome Bai è 3251° nella regione Lombardia Il cognome Bai è 629° nella provincia di Varese Il cognome Bai è 13° nel comune di GRAVELLONA LOMELLINA (PV)